Lower Semicontinuous

释义 Definition

下半连续（下半连续性）：在数学分析与优化中，函数 (f) 在点 (x) 处下半连续，直观地说是“函数值不会在极限过程中突然向下跳”。常见等价表述之一是：对任意实数 (a)，集合 ({x: f(x) > a}) 是开集；或对任意 (a)，({x: f(x) \le a}) 是闭集（在适当条件下）。该性质在变分法、凸分析、泛函分析中非常重要。
（注：在不同语境下也会讨论“上半连续 upper semicontinuous”等相关概念。）

例句 Examples

A lower semicontinuous function cannot jump downward at a limit point.
下半连续函数在极限点处不会出现“向下突降”。

In variational problems, lower semicontinuous energy functionals often guarantee the existence of minimizers.
在变分问题中，下半连续的能量泛函常常能保证极小值（极小化解）的存在。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈloʊər ˌsɛmi kɑnˈtɪnjuəs/

词源 Etymology

lower 表示“较低的、向下的”；semi- 是前缀，意为“半、部分”；continuous 来自拉丁语词根，表示“连续的”。组合起来，lower semicontinuous 字面上即“在向下方向上具备半连续性（只控制一侧的连续行为）”，强调的是对“向下跳跃”的限制。

相关词 Related Words

• Lower
• Semicontinuous
• Upper
• Upper Semicontinuous
• Continuous
• Discontinuous
• Limit Inferior
• Convex
• Closed
• Epigraph

文学与著作中的用例 Literary Works

• Variational Analysis（R. Tyrrell Rockafellar & Roger J-B Wets）：系统使用 “lower semicontinuous” 描述变分分析中的核心性质。
• Convex Analysis and Variational Problems（Ivar Ekeland & Roger Temam）：在凸分析与变分问题中频繁讨论下半连续性与极小值存在性。
• Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations（Haim Brezis）：在泛函分析与偏微分方程的语境下使用该术语。
• Measure Theory and Fine Properties of Functions（Lawrence C. Evans & Ronald F. Gariepy）：在测度论与函数性质讨论中出现 “lower semicontinuous”。